construction du nombre

Résumé de l’article de François Boule rédigé dans l’ouvrage : Elèves en difficulté : les aides à dominante pédagogique, édition du cnefei

(Véronique Trébosc)

La construction du nombre

La construction du nombre ne se développe pas sans relation avec la construction de l’espace, et des relations logiques.

 Dans les activités logiques ; nous avons le genre temps et le genre espace.

Dans l’espace, nous trouverons toutes les activités autour du tri, du classement. Dans le genre temps, nous trouvons toutes  les activités autour des sériations, des rythmes : par exemple la répétition par rapport à la progression dans la suite des nombres : la découverte avec la numération de cette construction est celle de la richesse des nombres. On découvre ainsi une loi à découvrir qui permet de poursuivre la séquence

 Quelles sont les représentations mentales des nombres ?

 Les nombres interviennent :

- sous forme verbale : liste des noms de nombre 

- sous forme imagée : les constellations (dominos, cartes à jouer…)

- sous une forme écrite, symbolique, chiffrée.

 Les différents usages des nombres (énonciation, comptage, calcul) font intervenir des évocations mentales.

Ces représentations internes évoluent et se diversifient à mesure que s’étendent les connaissances sur les nombres.

Le développement d’une représentation nouvelle se conjugue avec les précédentes sans les remplacer, ni se juxtaposer exactement. Cette évolution ne s’achève pas à la fin de l’école

Quelles sont les représentations ?

Premier aspect : l’aspect sériel : la liste verbale. C’est la mémorisation des mots : un, deux, trois. Dès que la liste s’étend, de nouveaux opérateurs se développent. C’est une étape pour le  sur comptage (évoquer la liste à partir de un mais aussi à partir de n’importe quel point de départ de façon croissante et pas à pas.)

Autre étape : la capacité de compter à rebours (de 2 en 2, ou de 5 en 5).

Premiers aspects visuels

La reconnaissance globale ou perception globale :

Il est possible d’identifier une collection sans la dénombrer si le nombre de ses éléments n’excède  pas 3 ou 4.Au delà de quoi, on recourt à une décomposition (dénombrement)

 Répertoire de résultats :

Ce sont des énoncés appris par cœur (auditivement) ex : 2et 2= 4

Il faut toutefois spécifier que pour la construction des tables additives et multiplicatives :

Les résultats additifs sont majoritairement reconstruits jusque vers 8 ans, c’est-à-dire que l’enfant surcompte mentalement à partir du plus grand nombre plutôt qu’il ne rappelle un résultat stocké en mémoire. En revanche en ce qui concerne les résultats multiplicatifs, il s’agit de rappel en mémoire (enfants et adultes).

Les doubles jouent un rôle particulier. Ce sont les résultats les plus rapidement mémorisés, qui constituent un appui sûr pour le calcul additif.

Numération

C’est au C.P que l’on systématise l’étude de la numération écrite.  Il en résulte une nouvelle représentation des nombres : on peut écrire des nombres aussi grands que l’on veut. Mais le champ illimité de cette numération écrite est assujetti à une description orale qui n’est pas aussi simple parce que moins régulière (irrégularité entre 10 et 20 puis entre 70 et 99).

Cet aspect est de nature algorithmique : c'est-à-dire que la production de nouveaux nombres est gouvernée par une régularité : c’est donc ce rôle d’une règle de construction qui est générateur de l’ensemble.

 Deuxième aspect sériel : la graduation

La suite des nombres est structurée à la fois par un rythme et des opérateurs .Le rythme est fourni (comme une règle graduée) par des dizaines et des centaines .Des opérateurs en résultent : retrancher 1, ajouter 10, retrancher 100. Cette représentation traduit la question en terme de distance entre 2points (aller de 18 à 20) etc.… Cette représentation est typique du calcul mental. Le rythme sur la graduation est lié à l’estimation d’ordre de grandeur (ajouter 98, c’est ajouter 100 et retrancher 2) ? Cela suppose une réciprocité exacte des opérations « ajouter », « retrancher ».On peut dès lors parler de calcul : L’élaboration de cette représentation pourrait commencer au C.P. mais sa pleine efficacité relève du CE  et surtout au CM.

 Technique de calcul écrit : c’est l’aspect qui est développé à l’école et qui s’appuie sur des algorithmes pratiques. Lorsque l’on fait une addition avec retenue ou une soustraction, ou une multiplication, on opère de droite à gauche alors que la direction de la lecture ordinaire et le calcul mental procèdent de gauche à droite. Ces techniques sont maîtrisées si on fait appel en amont et en aval à d’autres représentations numériques.

 Toutes ces représentations évoquées ne sont pas disjointes. Elles font appel unes aux autres.

 Ex : pour évaluer une collection dont la disposition est quelconque, on procède par recomposition en collection repérables et répertoire additif.

 A aucun moment, l’une de ses représentations n’est caduque : il nous arrive d’utiliser le comptage sur les doigts au cours d’un calcul écrit (par ex pour le décompte des retenues) 

En fait ces représentations présentent un domaine de validité optimum : compter sur les doigts requiert peu d’effort mais n’est plus efficace dès que l’on dépasse la dizaine. Le choix d’une représentation dépend de la situation donné. Un constat (mobilise moins de « charge mentale »qu’une situation problématique. La capacité d’évoquer telle ou telle représentation signale une bonne coordination des représentations : c’est cette variabilité qui doit être recherchée tout au long de l’école élémentaire.

Le maître spécialisé doit identifier les représentations disponibles et de les faire mettre en rapport avec les situations où elles sont pertinentes.